- Примечание о количественной локальной версии неравенства лог-Брунна-Минковского (arXiv)
Автор : Андреа Колезанти, Галина Викторовна Лившиц
Аннотация: Доказано, что лог-неравенство Брунна-Минковского
|λK+0(1−λ)L|≥|K|λ|L|1−λ
(где |⋅| — мера Лебега, а +0 — так называемое лог-сложение) имеет место, когда K⊂Rn — шар, а L — симметричное выпуклое тело в подходящей C2-окрестности точки K.
2.Локальные неравенства Лп-Брунна-Минковского для p‹1 (arXiv)
Автор : Колесников Александр Васильевич, Эмануэль Мильман
Аннотация: Теория Lp-Брунна-Минковского для p≥1, предложенная Файри и развитая Лютваком в 90-х годах, заменяет сложение Минковского выпуклых множеств ее аналогом Lp, в котором опорные функции добавляются в Lp-норме. Недавно Бёрёчки, Лютвак, Ян и Чжан предложили расширить эту теорию дальше, чтобы охватить диапазон pε[0,1). В частности, они выдвинули гипотезу о неравенстве Lp-Брунна-Минковского для выпуклых тел с начальной симметрией в этом диапазоне, что представляет собой усиление классического неравенства Брунна-Минковского. Наш основной результат подтверждает эту гипотезу локально для всех (гладких) симметричных по началу выпуклых тел в Rn и pε[1−cn3/2,1). Кроме того, мы подтверждаем локальную гипотезу лог-Брунна — Минковского (случай p=0) для достаточно малых C2-возмущений единичного шара ℓnq при q≥2, когда размерность n достаточно велика, а также для куба, который мы показываем, является гипотетическим экстремальным случаем. Для единичных шаров ℓnq с qε[1,2) мы подтверждаем аналогичный результат для p=cε(0,1), универсальной константы. Оказывается, что локальная версия этих гипотез эквивалентна задаче минимизации параметра спектральной щели, связанной с некоторым дифференциальным оператором, введенной Гильбертом (при другой нормировке) в его доказательстве неравенства Брунна-Минковского. В качестве приложений получены результаты о локальной единственности в четной задаче Lp-Минковского, а также улучшенные оценки устойчивости в неравенствах Брунна-Минковского и анизотропных изопериметрических неравенствах.
