Скалярное произведение — это обычная операция, выполняемая над векторами, которая в результате возвращает скаляр. Этот скаляр предоставляет информацию об отношениях между векторами.
Фон
Для двух векторов a и b длины n скалярное произведение можно использовать, чтобы показать взаимосвязь между ними. Например, указывают ли они в одном направлении? Противоположные направления? Они перпендикулярны?
Результатом является скаляр, поэтому скалярное произведение иногда называют скалярным произведением.
Чтобы понять, как это работает, лучше всего начать с геометрического определения.
Геометрическое определение
Эта формула состоит из трех компонентов:
- ||a||: величина a
- ||b||: величина b
- θ: угол между a и b
Величина
Величина может быть рассчитана путем извлечения квадратного корня из квадрата элементов. Для двумерного вектора величина будет равна
√(x² + y²). Для трехмерного измерения величина будет равна
√(x² + y² + z²). Для n-размеров величина будет следующей:
Косинус
cos(θ) используется для «проецирования» a на b. На изображении выше a и bуказывают в разные стороны, поэтому || а|| cos(θ) проецирует часть a, которая является смежной и рядом с b.
Это также можно рассматривать как взятие части b, которая находится рядом с a, что видно на изображении ниже:
Пример
Геометрическое определение полезно, когда известны угол и величина векторов, как в приведенном выше примере. В этом примере легко вычислить скалярный продукт.
Обратите внимание, что число шесть отрицательное, поскольку оно указывает в отрицательном направлении:
- ||a|| = 10 = √(8² + (-6)²)
- ||b|| = 13 = √(12² + 5²)
- θ = 59.5°
Следовательно, a・ b = ||a|| ||b||cos(θ) = (10) (13) cos(59,5) = 65,9799871849
Что означает вывод?
Когда два вектора указывают в одном направлении, угол между ними будет θ = 0°или 0 радианы. Это означает, что выход cos(θ) равен 1. Это когда скалярное произведение максимально. С другой стороны, когда векторы указывают в противоположных направлениях, угол между ними будет θ = 180° или π радианы. Выход cos(θ) будет равен -1. Это когда скалярное произведение минимально. Когда θ = 90° или (π/2) радиан, выход cos(θ) равно 0. Это происходит, когда векторы перпендикулярны или ортогональны друг другу.
Это указывает на то, что скалярное произведение может помочь определить взаимосвязь между векторами, что жизненно важно для машинного обучения.
Хотя геометрическое определение полезно, чаще всего используются компоненты вектора без известного угла. В этих ситуациях удобнее использовать эквивалентную формулу координат.
Определение координат
Определение координат не требует угла для вычисления скалярного произведения. Вместо этого соответствующие компоненты каждого вектора умножаются друг на друга. Результат оказывается эквивалентным геометрическому определению. Самое краткое объяснение их эквивалентности, которое было доступно, было в Википедии.
Двумерный пример
Чтобы показать, что они равны, рассмотрим тот же пример, что и раньше, но теперь его можно вычислить с помощью определения координат.
Геометрическое решение составило 65,9799871849, что является незначительной разницей.
Трехмерный пример
Эти же формулы можно использовать в трех и более измерениях. На изображении выше известны компоненты каждого вектора, но нет угла между ними.
Определение координат можно использовать для вычисления скалярного произведения, а угол между ними можно найти, используя результат и геометрическое определение.
В этом примере a = [4, 8, 10]и b = [9, 2, 7]:
Теперь угол можно найти, установив ||a|| ||b||cos(θ) = a・b:
Пожалуйста, не забудьте поставить лайк и подписаться, чтобы узнать больше! :)
